5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

• Teorema  1
  Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
  v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
  i. T(0) = 0
  
  
  ii. T(u - v) = Tu - Tv
  iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
  Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
  derecha es el vector cero en W.
   Teorema 2
  Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . ,vn}. Sean w1,
  w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V
  en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈
  V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
  Ejemplo                                                                                                                             
  Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal
  Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
  
  
  i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por
                                     
  
  
  ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
• Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
  
  
  Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
  
  
  Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.
   Teorema 
  Si T:V W es una transformación lineal, entonces
  i.Un T es un subespacio de V.
  ii.Im T es un subespacio de W.
  
  
  Demostracion
  i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.
  ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.
  
  
  Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero
  Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.
  
  
  Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad
  Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.
  
  
  Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se  encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.