Cambio de base
El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.
TEOREMA (La inversa de la matriz de transición).Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces Pes invertible y la matriz de transición de B’a B es .
TEOREMA (Matriz de transición de una base B a una base B’).
Seanydos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz como se muestra a continuación.
En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.
Base ortonormal
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no endrá una base ortonormal a no ser que sea nespacio de Hilbert.