5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn à Rm.

1. 1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. 2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
3. 3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. 4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.

5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Desde el punto de vista algebraico lineal, las transformaciones más importantes son las aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas son llamadas transformaciones lineales o aplicaciones lineales. Una transformación lineal es una parte esencial en el álgebra lineal. La idea principal detrás de la “Matriz de una transformación lineal” es la definición de la matriz de T con respecto a las bases arbitrarias del dominio de V y el codominio de W. En este caso, V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre F, y T: V → W es una transformación lineal.

Sea V y W espacios vectoriales de finita dimensión sobre F, e imagina que T: V! W es lineal. Fija una base

B = {v1, v2. . . vn}

de V y una base de

B0 = {w1, w2. . . wm}

de W. Ahora definimos la matriz MBB’ (T) de T con respecto a estas bases. Puesto que B0 es una base de W, cada T (vj) puede escribirse únicamente como

T(v j) =

Por lo tanto la matriz de T, en definitiva, con respecto a las bases B y B0 se define como la matriz MBB’ (T) = (cij ) m × n . ¿Lo qué dice esta definición es que la columna jth de la matriz MBB’(T) es el vector columna formado por los coeficientes de T(vj) con respecto a la base B0? Uno puede expresar el término anterior en forma matricial mediante

(T(v1) T(v2) • • • T(v n)) = (w1 w2 • • •wm)MBB ’(T).

Es importante tener en cuenta que si V = Fn, W = Fm y T = TA, donde A Fm×n, entonces MBB’(T) = A si B y B0 son las bases estándares. De TA (ej) es siempre la columna jth de A.

Ahora, sea V el espacio de polinomios reales de al menos tres grados, y W el espacio de polinomios reales de a lo sumo dos grados. Entonces, la diferenciación es una transformación lineal D: V → W. Ahora

D (ax3 + bx2 + cx + d) = 3ax2 + 2bx + c.

Sea B la base {1, x, x2, x3} de V y B0 la base {1, x, x2} de W. Ahora,

D (1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) = 3×2.

Así

MBB’(D) =

Ahora bien, supongamos que T: V → V es una transformación lineal diagonalizable (o semi-simple). Recordemos que esto significa que existe una base B = {v1, v2. . . vn} de V tal que (vi) = vi para cada índice i entre 1 y n. Por lo tanto, B es una base propia de V para T. En este caso, MBB (T) es la matriz diagonal .

Pero, ¿Qué es la matriz de T con respecto a alguna otra base B0 de V? El primer paso para responder a esta pregunta es encontrar cómo relacionar las expansiones de un vector dado de V con respecto a dos bases distintas. Esto por sí solo constituye un concepto diferente y más amplio que necesita de un conocimiento muy superior y más profundo de las matemáticas.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

• Teorema  1
  Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
  v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
  i. T(0) = 0
  
  
  ii. T(u - v) = Tu - Tv
  iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
  Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
  derecha es el vector cero en W.
   Teorema 2
  Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . ,vn}. Sean w1,
  w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V
  en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈
  V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
  Ejemplo                                                                                                                             
  Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal
  Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
  
  
  i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por
                                     
  
  
  ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
• Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
  
  
  Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
  
  
  Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.
   Teorema 
  Si T:V W es una transformación lineal, entonces
  i.Un T es un subespacio de V.
  ii.Im T es un subespacio de W.
  
  
  Demostracion
  i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.
  ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.
  
  
  Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero
  Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.
  
  
  Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad
  Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.
  
  
  Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se  encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1.            T (u+v)= Tu+Tv

2.            T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

1.            Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2.            Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

3.            Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

·                     Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

·                     Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

4.6 cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.

Cambio de base El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’. TEOREMA (La inversa de la matriz de transición).Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces Pes invertible y la matriz de transición de B’a B es . TEOREMA (Matriz de transición de una base B a una base B’). Seanydos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz como se muestra a continuación. En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente. Base ortonormal En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal. Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria. Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal. Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero. Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no endrá una base ortonormal a no ser que sea nespacio de Hilbert.

4.5 Espacio vectorial con producto interno

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto interior:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
Propiedades de los productos interiores:
1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
3. ‹u, cv› = c‹u, v›.
Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v₁,v₂,_…,v_k} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c₁,c₂,_…,c_k, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c₁v₁₊c₂v₂+…+c_kv_k=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u₁, u₂, …,u_k k vectores en R_n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos esmúltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano. 

Teoremas

1.                  Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2.                  Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.

3.                  Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v₁, v₂}, donde v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.

4.                  Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

5.                  Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

4.3 Combinación lineal Dependencia e Independencia lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0);
j = (0,1,0);
k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que: c1v1+c2v2+…+ckvk=0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. Criterios de Independencia Lineal Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial. Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple). Si k=n Los vectores son linealmente independientes si A es invertible Si k>n Los vectores son linealmente dependientes. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores. Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.  Teoremas 1.                 Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente. 2.                 Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente. 3.                 Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. 4.                 Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente. 5.                 Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente

4.2 DEFINICIÓN DE SUB-ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.  Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

v  1). El vector cero de V está en H.2

v  2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en 

               H, la suma u + v está en H.

v  3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

                  u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R² o R³  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

3.5 APLICACIONES

Aplicaciones con relación a los sistemas de ecuaciones
Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos para las respectivas entradas.En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.

♣Determinación de curvas♣ 

Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. 

Ejemplo: Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3). 

 Solución

La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes.  

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. 

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, 

es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4

es decir, se debe cumplir: a + b + c =4  

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b + c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.

Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: 

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci´on con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

♣Aplicaciones a Manufactura♣

Ejemplo: Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: ca˜non, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo ca˜non necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cu´antas computadoras se pueden producir por mes?

Solución

En nuestro caso las incógnitas el n´umero de cada tipo de computadora a producir:

x = n´umero de computadoras cañón

y = n´umero de computadoras clon

z = n´umero de computadoras lenta-pero-segura 

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado: 556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)

Pruebas: 120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalación de programas: 103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:

 En la ultima columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.

En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

 

3.4.- Métodos De Solución De Un Sistema De Ecuaciones Lineales:

Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más ecuaciones lineales. La solución del sistema correspondiente se obtiene cuando todas las ecuaciones lineales del sistema intersectan en un punto particular.

Existe una variedad de métodos disponibles para encontrar la solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales. Algunos de los métodos aceptados popular y ampliamente incluyen a la eliminación de Gauss, Método Gauss Jordan, inverso de una matriz y la regla de Cramer.

La eliminación de Gauss es un algoritmo específico planeado para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Con la ayuda del algoritmo de Gauss puede encontrarse con facilidad la matriz de rango, el determinante de la matriz y el inverso de la matriz.

La eliminación de Gauss se divide en dos partes básicas: Eliminación hacia Adelante y sustitución hacia atrás. La eliminación hacia adelante reduce el sistema de ecuaciones lineales hacia la forma triangular o degenerando las ecuaciones correspondientes con una solución zilch. Para ello, el algoritmo de Gauss usa las operaciones elementales de fila. Luego, con la ayuda de una solución de sustitución hacia atrás se crea el sistema correspondiente.

Otro método, la eliminación Gauss-Jordan es un método que hace uso de las operaciones elementales de fila para obtener matrices en forma de una forma escalonada reducida. Una matriz es llamada de forma escalonada si contiene 0 en cada pivote. La eliminación de Gauss-Jordan ubica el 0 tanto abajo como encima del pivote. Y por este motivo, este tipo de matrices son conocidas como de forma escalonada reducida. En caso el que Gauss-Jordan sea empleado en una matriz de origen cuadrado, entonces se puede utilizar para encontrar el inverso de la matriz.

El inverso de la matriz es otro método simple y fácil de usar para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. En este método, hay algunos pasos a seguir. Estos son:

Paso 1: Marque las ecuaciones en forma de multiplicación de matriz con las variables una como matriz o y el otro como coeficiente.

Paso 2: Calcula el inverso de los coeficientes de matriz correspondientes.

Paso 3: Ahora, multiplique el coeficiente inverso de la matriz con ambos lados de la ecuación formada en el paso 1.

Paso 4: Cuando soluciones la multiplicación de la matriz, puedes obtener la solución.

La Regla de Cramer es otro método basado en una fórmula sencilla para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Este método se apoya en un hecho simple en el cual el valor de la variable de todos y cada uno puede determinarse tomando en cuenta el cociente de dos determinantes. Con el fin de entenderlo, vamos a ver un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones:

x + 3y – 2z = 5 3x + 5y + 6z = 7 2x + 4y + 3z = 8

El valor de la variable puede obtenerse por:

Es posible observar que el denominador está dado por los determinantes de los coeficientes de matriz, mientras que el numerador está elaborado a partir del determinante de esa matriz, en la cual 1 de las columnas fue intercambiada por un vector constante o en otras palabras término constante.

3.3 Interpretación Geométrica De Las Soluciones

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son: 1. Solución única: Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. Gráficamente se representa:

2. Sin solución: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. Gráficamente podemos representarlo como:

3. Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente. Gráficamente podemos representarlo como: