4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R² o R³  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

3.5 APLICACIONES

Aplicaciones con relación a los sistemas de ecuaciones
Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos para las respectivas entradas.En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.

♣Determinación de curvas♣ 

Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. 

Ejemplo: Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3). 

 Solución

La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes.  

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos. 

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, 

es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4

es decir, se debe cumplir: a + b + c =4  

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b + c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.

Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: 

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci´on con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

♣Aplicaciones a Manufactura♣

Ejemplo: Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: ca˜non, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo ca˜non necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cu´antas computadoras se pueden producir por mes?

Solución

En nuestro caso las incógnitas el n´umero de cada tipo de computadora a producir:

x = n´umero de computadoras cañón

y = n´umero de computadoras clon

z = n´umero de computadoras lenta-pero-segura 

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado: 556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)

Pruebas: 120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalación de programas: 103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:

 En la ultima columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.

En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

 

3.4.- Métodos De Solución De Un Sistema De Ecuaciones Lineales:

Un sistema de ecuaciones lineales se compone de dos o más ecuaciones lineales. La solución del sistema correspondiente se obtiene cuando todas las ecuaciones lineales del sistema intersectan en un punto particular.

Existe una variedad de métodos disponibles para encontrar la solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales. Algunos de los métodos aceptados popular y ampliamente incluyen a la eliminación de Gauss, Método Gauss Jordan, inverso de una matriz y la regla de Cramer.

La eliminación de Gauss es un algoritmo específico planeado para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Con la ayuda del algoritmo de Gauss puede encontrarse con facilidad la matriz de rango, el determinante de la matriz y el inverso de la matriz.

La eliminación de Gauss se divide en dos partes básicas: Eliminación hacia Adelante y sustitución hacia atrás. La eliminación hacia adelante reduce el sistema de ecuaciones lineales hacia la forma triangular o degenerando las ecuaciones correspondientes con una solución zilch. Para ello, el algoritmo de Gauss usa las operaciones elementales de fila. Luego, con la ayuda de una solución de sustitución hacia atrás se crea el sistema correspondiente.

Otro método, la eliminación Gauss-Jordan es un método que hace uso de las operaciones elementales de fila para obtener matrices en forma de una forma escalonada reducida. Una matriz es llamada de forma escalonada si contiene 0 en cada pivote. La eliminación de Gauss-Jordan ubica el 0 tanto abajo como encima del pivote. Y por este motivo, este tipo de matrices son conocidas como de forma escalonada reducida. En caso el que Gauss-Jordan sea empleado en una matriz de origen cuadrado, entonces se puede utilizar para encontrar el inverso de la matriz.

El inverso de la matriz es otro método simple y fácil de usar para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. En este método, hay algunos pasos a seguir. Estos son:

Paso 1: Marque las ecuaciones en forma de multiplicación de matriz con las variables una como matriz o y el otro como coeficiente.

Paso 2: Calcula el inverso de los coeficientes de matriz correspondientes.

Paso 3: Ahora, multiplique el coeficiente inverso de la matriz con ambos lados de la ecuación formada en el paso 1.

Paso 4: Cuando soluciones la multiplicación de la matriz, puedes obtener la solución.

La Regla de Cramer es otro método basado en una fórmula sencilla para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales. Este método se apoya en un hecho simple en el cual el valor de la variable de todos y cada uno puede determinarse tomando en cuenta el cociente de dos determinantes. Con el fin de entenderlo, vamos a ver un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones:

x + 3y – 2z = 5 3x + 5y + 6z = 7 2x + 4y + 3z = 8

El valor de la variable puede obtenerse por:

Es posible observar que el denominador está dado por los determinantes de los coeficientes de matriz, mientras que el numerador está elaborado a partir del determinante de esa matriz, en la cual 1 de las columnas fue intercambiada por un vector constante o en otras palabras término constante.

3.3 Interpretación Geométrica De Las Soluciones

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son: 1. Solución única: Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. Gráficamente se representa:

2. Sin solución: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. Gráficamente podemos representarlo como:

3. Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente. Gráficamente podemos representarlo como:

3.2.-Clasificación De Los Sistemas De Ecuaciones Lineales:

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica que contiene variables cuyo máximo grado posible es uno. Tales ecuaciones se utilizan normalmente para definir líneas rectas. Cuando tenemos numerosas ecuaciones lineales, donde sus posibles soluciones nos dan un punto de solución, las llamamos como conjunto, sistema de ecuaciones lineales. Generalmente, un sistema de ecuaciones lineales se convierte en forma de matriz por conveniencia para su solución. Sea un sistema de ecuaciones lineales dado como, x + y – z = 1 3x – 2y + z = 3 4x + y – 2z = 9

Además de esto también tenemos tres categorías de posibles soluciones para un determinado sistema de ecuaciones lineales. Estas son: 1. Solución Independiente: La solución independiente es la solución única para un sistema de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuación, si aplicamos una operación de transformación de fila generalmente obtendremos una matriz de identidad. Una característica única de este tipo solución es que se necesita disponer de tantos números de ecuaciones como variables en el sistema dado. Si este requisito no se cumple, no podemos obtener una solución independiente.

Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una solución única para cada una de las tres variables como x = 3, y = 1 y z = 2

2. Solución Dependiente: La solución dependiente es aquella por medio de la cual se obtienen numerosas soluciones para una sola variable, este es el caso de las soluciones múltiples. Para este sistema de ecuaciones, si aplicamos la operación de transformación de fila generalmente obtendremos pocos términos de cero. Usualmente, es el caso donde el número de variables es mayor que el número de ecuaciones en el sistema. Muchas veces este sistema contiene una fila cero.

La solución del sistema es x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t. 

3. Solución Inconsistente: La solución es inconsistente, cuando no obtenemos ninguna solución para el sistema de ecuaciones lineales

3.1.-Definición De Sistemas De Ecuaciones Lineales

Una ecuación lineal es aquella que contiene variables de un sólo grado. Tal ecuación se representa con una recta en un papel cuadriculado. Una ecuación lineal que contiene n variables de la forma x1-, x¬2¬, x¬3¬ … x¬n¬ puede escribirse como,

Aquí b es un término constante y a¬1¬, a¬2¬, a¬3¬ … a¬n¬ son los coeficientes de las variables n. Por ejemplo, si tenemos la ecuación,

2x¬1¬ – x¬2¬ + 7x¬3¬ = 5

esta es una ecuación lineal de tres variables. Mientras que una ecuación

3x¬1¬x¬2¬ – 2x¬3¬2 = 1

No es una ecuación lineal. Esto significa que no podemos multiplicar dos variables juntas en una ecuación lineal. Cada variable está separada por las operaciones básicas de suma y resta operación, y tienen un término de coeficiente diferente, sin embargo el valor de los coeficientes de ambas variables viene ser el mismo.

Un sistema lineal, también llamado sistema de ecuaciones lineales es aquel que contiene varias ecuaciones lineales de manera tal que todos juntos producen un sistema significativo que nos da un punto de solución definitiva. Sin embargo, en ciertas situaciones no es posible conseguir ninguna solución o se obtienen varios puntos como solución. Podemos representar un sistema de ecuaciones lineales como:

En resumen, podemos definir un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de n ecuaciones en m variables, donde el valor de n y m pueden ser iguales.

En varias situaciones los vectores a¬ij¬, x¬ij¬ and b¬i¬, provienen de un número complejo de conjunto C.

El sistema de ecuaciones lineales puede clasificarse principalmente en dos categorías, el sistema homogéneo de ecuaciones lineales y el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales. Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales es uno cuyo vector b¬i¬, es un vector cero donde todas sus entradas son valores cero. Esto significa que en ese sistema, tenemos del lado derecho de cada ecuación un sistema cero. Puede representarse como,

3.0 Sistemas De Ecuaciones Lineales

La asignatura del álgebra surgió del estudio de las ecuaciones. Por ejemplo, uno podría querer encontrar todos los números reales x tal que x = x2 - 1. Para resolverlo, podríamos rescribir la ecuación como x2 - x - 6 = 0 y entonces ubicar el factor a su izquierda. Esto nos dice que (x - 3) (x + 2) = 0, por lo que podemos concluir que x = 3 o x = −2 dado que x - 3 ó x + 2 tiene que ser cero.

La ecuación lineal más simple es la ecuación ax = b. La letra x es la variable, y a y b son números fijos. Por ejemplo, considere 4x = 3. La solución es x = 3 / 4. En general, si a = 0, entonces x = b / a, y esta solución es única. Si a = 0 y b = 0, no existe solución, ya que la ecuación dice que 0 = b. Y en el caso de que a y b fueran 0, cada número real x es una solución. Esto señala una propiedad general de las ecuaciones lineales. O hay una solución única (es decir, exactamente una), no hay solución o hay un número infinito de soluciones.

En general, si x1, x2. . . xn son variables y a1, a2 . . . an y c son números reales fijos, entonces se dice que la ecuación

a1×1 + a2×2 + • • • + anxn = c

es una ecuación lineal. Los ai son los coeficientes, las xi las variables y c es la constante. Mientras que en situaciones familiares, los coeficientes son números reales, se convierten en otros escenarios importantes, como la teoría de códigos, los coeficientes pueden ser elementos de algún campo general. En un campo es posible llevar a cabo la división. Los números reales son un campo, pero los números enteros no lo son (3/4 no es un entero).

Tomemos otro ejemplo. Imagina que estás planeando hacer un bizcocho usando 10 ingredientes, y deseas que el bizcocho tenga 2000 calorías. Sea ai el número de calorías por gramo del ingrediente ith. Probablemente, cada ai es no negativo, aunque en el futuro, los alimentos con calorías negativas, podrían estar disponibles. De manera similar, sea xi el número de calorías por gramo del ingrediente ith. Entonces a1×1 + a2×2 + • • • + a10×10 es el número total de calorías en la receta. Como deseas que el número total de calorías en tu pastel sea exactamente 2000, consideras la ecuación a1×1 + a2×2 + • • • + a10×10 = 2000. El total de posibles soluciones x1, x2. . . x10 para esta ecuación es el conjunto de todas las recetas posibles que puedas realizar.

Los siguientes ejemplos mas difíciles ilustran como ecuaciones lineales pueden usarse en problemas no lineales. Siendo R los números reales, imagina que deseamos saber sobre el conjunto de soluciones comunes de las ecuaciones z = x2 + xy5 y z2 = x + y4. Estas ecuaciones representan dos superficies en tres espacios reales R3, por lo cual esperamos que el conjunto de soluciones comunes este sobre una curva. Aquí es imposible expresar las soluciones en forma cerrada, pero podemos estudiar a estos utilizando los métodos lineales. Por ejemplo, ambas superficies se encuentran en (1, 1, 1), y ambos tienen un plano tangente en (1, 1, 1). La recta tangente a la curva de intersección en (1, 1, 1) es la intersección de estos dos planos tangentes. Esto nos dará una aproximación lineal a la curva cerca de (1, 1, 1).

Un sistema lineal general que consta de m ecuaciones con n incógnitas se verá asi:

a11×1 + a12×2 + • • • + a1nxn = b1 a21×1 + a23×2 + • • • + a2nxn = b2

am1×1 + am2×2 + • • • + amnxn = bm.

Observe cómo los coeficientes aij están designados. El primer índice da su fila y el segundo índice su columna. El caso en el que todas las constantes bi son cero es llamado caso homogéneo. De lo contrario, se dice que el sistema es no homogéneo.