5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

• Teorema  1
  Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,
  v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:
  i. T(0) = 0
  
  
  ii. T(u - v) = Tu - Tv
  iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn
  Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
  derecha es el vector cero en W.
   Teorema 2
  Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . ,vn}. Sean w1,
  w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V
  en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈
  V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.
  Ejemplo                                                                                                                             
  Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal
  Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces
  
  
  i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por
                                     
  
  
  ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por
• Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
  
  
  Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.
  
  
  Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.
   Teorema 
  Si T:V W es una transformación lineal, entonces
  i.Un T es un subespacio de V.
  ii.Im T es un subespacio de W.
  
  
  Demostracion
  i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.
  ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.
  
  
  Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero
  Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.
  
  
  Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad
  Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.
  
  
  Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se  encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1.            T (u+v)= Tu+Tv

2.            T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

1.            Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2.            Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

3.            Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

·                     Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

·                     Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

4.6 cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.

Cambio de base El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’. TEOREMA (La inversa de la matriz de transición).Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces Pes invertible y la matriz de transición de B’a B es . TEOREMA (Matriz de transición de una base B a una base B’). Seanydos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz como se muestra a continuación. En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente. Base ortonormal En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal. Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria. Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal. Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero. Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no endrá una base ortonormal a no ser que sea nespacio de Hilbert.

4.5 Espacio vectorial con producto interno

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto interior:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
Propiedades de los productos interiores:
1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
3. ‹u, cv› = c‹u, v›.
Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v₁,v₂,_…,v_k} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c₁,c₂,_…,c_k, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c₁v₁₊c₂v₂+…+c_kv_k=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u₁, u₂, …,u_k k vectores en R_n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos esmúltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano. 

Teoremas

1.                  Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2.                  Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.

3.                  Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v₁, v₂}, donde v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.

4.                  Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

5.                  Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

4.3 Combinación lineal Dependencia e Independencia lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0);
j = (0,1,0);
k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que: c1v1+c2v2+…+ckvk=0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. Criterios de Independencia Lineal Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial. Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple). Si k=n Los vectores son linealmente independientes si A es invertible Si k>n Los vectores son linealmente dependientes. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores. Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.  Teoremas 1.                 Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente. 2.                 Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente. 3.                 Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. 4.                 Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente. 5.                 Cualquier subconjunto  de un conjunto linealmente independiente es linealmente

4.2 DEFINICIÓN DE SUB-ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.  Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

v  1). El vector cero de V está en H.2

v  2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en 

               H, la suma u + v está en H.

v  3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

                  u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.